迩来做题接触了些 Möbius 反演、最值反演、二项反演等，总觉其「飘在天上」。在查阅相关离散数学概念后，我决定亲自作一推导，冀能厘清部分缘由。
容斥原理
熟知的容斥原理（Inclusion Principle）形如
` |uuu_(i=1)^nS_i|=sum_J(-1)^(1+|J|)nnn_(j in J)S_j| `
作为该公式的一个著名应用，错位排列（Derangement）数⸺`n` 个人交换贺卡，每人恰有一张别人的贺卡之情况数⸺为
` D_n=n!-|uuu_(i=1)^nS_i|=n!-\sum_(i=1)^n(-1)^(1+i)((n),(i))(n-i)! =n!sum_(i=0)^n(-1)^i/(i!) `
式中，`S_i` 表示 `i` 为不动点（持自己的贺卡）的排列集合。（事实上，这里触及容斥原理的一个特例：若 `|nnn_(j in J)S_j|` 只与 `|J|` 有关，而与 `J` 的具体选择无关，则可直接按 `|J|` 分类求和）
我们观察容斥原理的形式。容斥原理通过计数同在某些集合中的元素，「反解」出至少出现一次（或从未出现⸺据 De Morgan 律）的元素个数。
一般的 Möbius 反演
对有限偏序集 `(:S,<=:)` 及函数 `f:S->bbR`，定义函数
` g(x)=sum_(i<=x)f(i) `
我们希望从 `g(x)` 反解 `f(x)`。形式化表示之，即寻求函数 `mu:S^2->bbR`，使
` f(x)=\sum_(i<=x)mu(i,x)g(i) `
函数 `\mu` 起到对 `g(i)` 的「阀门」作用。代入得
` f(x)=\sum_{i\le x}\mu(i,x)\sum_{j\le i}f(j) `
当 `i=j=x` 时，`f(j)` 取 `f(x)`，此时需要「开闸」，即 `\mu(x,x)=1`，以保证 `f(x)` 项存在。此时在后一个求和号处多加了 `\sum_{j\lt x}f(j)`，因此需要如容斥原理般，等待前一个求和号枚举到这个 `j`（即求和变量 `i` 取到这个 `j`）时，在「阀门」处（即累计到控制这一项的 `\mu(j,x)` 上）减去一个 1（实际上是减去一个 `\mu(x,x)`）。此时后一个求和号多加了 `\mu(j,x)\sum_{j_1\lt j\lt x}f(j_1)`（不是多减了，因为 `\mu(j,x)` 作为因数已经包含了这个减号），故在「阀门」处减去一个 `\mu(j,x)`……这样每次都减，直至枚举到的 `j` 为极小元，才不再引起副作用。对同一个 `j` 可能有多次减操作，将这些操作求和，便得到 `\mu` 函数。该函数充当反演式的系数，与容斥原理的 `(-1)^{1+|J|}` 同等。
依上述分析，我们「草拟」一个递推式，以便定义 `\mu` 函数
` \mu(a,b)=-\sum_{a\lt i\le b}\mu(i,b) `
实用上，`\mu` 函数的第二参数为问题的条件，而上式左右两端均用到 `b`。我们希望改为左右两端均使用 `a` 的形式，使得遇到问题时不需要视问题条件随机应变。
引入褶积
我们将目光转向二元函数。设 `\mathcal F(S)` 为适合以下性质的函数 `f:S^2arrow\mathbb R` 的集合：若 `a\le b` 为假，则 `f(a,b)=0`。在 `\mathcal F(S)` 上定义褶积（Convolution）[^1]运算
` (f**g)(a,b)=\sum_{a\le i\le b}f(a,i)g(i,b) `
褶积适合结合律
` f**(g**h)=(f**g)**h `
只需展开即可得证。显然，褶积有单位元（恒等元）`\delta(a,b)=[a=b]`。
我们继续寻找 `f` 的左逆元 `g`，使得 `g**f=\delta`。显然，为此应定义 `g(x,x)=\frac 1{f(x,x)}`。对 `a\lt b` 我们以逸待劳，不从 `(g**f)` 的展开出发，而是利用褶积的求和变量范围，拆出 `g(a,b)`。代入得：
` 0=(g**f)(a,b)=\sum_{a\le i\le b}g(a,i)f(i,b) =\sum_{a\le i\lt b}g(a,i)f(i,b)+g(a,b)f(b,b) `
移项得
` g(a,b)=-\frac{\sum_{a\le i\lt b}g(a,i)f(i,b)}{f(b,b)} `
此为 `f` 的左逆元的递推式。同理，`f` 有右逆元
` h(a,b)=-\frac{\sum_{a\lt i\le b}f(a,i)h(i,b)}{f(a,a)} `
由于
` h=\delta**h=(g**f)**h=g**(f**h)=g**\delta=g `
两个逆元相等。我们作 `\mu` 的左（或右）逆元 `\zeta`。当然有 `\zeta(x,x)=1`。对于 `a\le i\lt b to a=i`，有 `\zeta(a,b)=-\mu(a,b)=1`。继续试验，可猜想并以归纳法证得 `\zeta(a,b)=1`。`\zeta` 可视为偏序 `(:S,\le:)`的指示函数，即 `\zeta(a,b)=[a\le b]`。对 `\zeta` 作右逆元，得到前文公式；对 `\zeta` 作左逆元，得到的 `\mu` 不需要再传递第二参数，目的达成。
由此，「草拟」式可改写为
` \mu(a,b)=-\sum_{a\le i\lt b}\mu(a,i) `
常规 Möbius 反演⸺应用于整除偏序
整除偏序 `(:\mathbb N,\preceq:)`（或进一步地，`(:[1,+\infty),\le:)`）中，定义函数
` g(x)=\sum_{i\preceq x}f(i) `
其 Möbius 反演形如
` f(x)=\sum_{i\preceq x}\mu(\frac x i)g(i) `
式中，`\mu(\frac x i)` 是 `\mu(1,\frac x i)=\mu(i,x)` 的缩写。后两者相等是由整除偏序的「同态」所决定。据
` \mu(x)=-\sum_{i\prec x}\mu(i) `
显然，`\mu(1)=1`，且进一步有 `\mu(\prod_{i=1}^np_{k_i})=(-1)^n`（`k_i` 互异）。另有 `\mu(p_i^2)=1-1=0`，进而 `\mu(p_i^\alpha)=0(\alpha\gt1),\mu(cp_i^\alpha)=0\cdot\mu(c)=0`；即对有平方因子数，`\mu` 函数值均为 0。
由此得到常规的 Möbius 反演形式。
二项反演⸺应用于格
偏序集 `(:\mathcal P(S),\subseteq:)` 是一个格（Lattice）。其中定义函数
` g(T)=\sum_{J\subseteq T}f(J) `
其 Möbius 反演形如
` f(T)=\sum_{J\subseteq T}\mu(J,T)g(J) `
可以归纳法证明，其 Möbius 函数为：`\mu(A,B)=|B|-|A|`，与容斥原理所得结论一致。
我们先就最值反演（又名 Min-max 容斥）作出尝试。取
` f(T)=[T!=O/](-1)^{1+|T|}\min(T) `
有 `g(T)=\max(T)`，盖因 `\max(T)` 这个数仅在子集 `{\max(T)}` 中，才能做最小值；而其他值做最小值的集合，其元素个数奇偶参半，于 `(-1)^{1+|T|}` 相消。得到最值反演
` \max(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{1+|T|}\min(T) `
然而对上式进行 Möbius 反演，只是将最大和最小反向。很遗憾！
考虑函数值仅与集合元素个数有关，而与元素选择无关（在「容斥原理」一节已提到此种特例）。即
` G(T)=g(|T|)=\sum_{J\subseteq T}\mu(J,T)F(T)=\sum_{i=0}^{|S|}((|S|), (i))f(i) `
反演得
` f(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}((n),(i))g(i) `
此为二项反演 I。
◷